Realidad y números imaginarios

Nada parece más apartado de la realidad que “inventar” un número, llamado“i”, que es la raíz cuadrada de -1. En un mundo imaginario, ese número sería de tal forma que podríamos construir con él un cuadrado de superficie negativa e igual a -1. El producto de cualquier número real por i da como resultado unos números que llamamos imaginarios que, como veremos, no son menos reales que los llamados números “reales” a los que estamos acostumbrados. La suma de un número real y otro imaginario se llama número complejo, por ejemplo el número: 7+ 3i. Estos números suelen representarse en el plano de forma que los reales ocupan el eje horizontal de las x, mientras que los imaginarios ocupan el eje vertical de las y.

El principio en el conocimiento de los números complejos se encuentra en la obra de Girolamo Cardano, un italiano que vivió entre 1501 y 1576, médico de formación, jugador y confeccionador de horóscopos, que escribió un importante e influyente tratado de álgebra llamado el “Ars Magna” en 1545. En el estudio de las soluciones de una ecuación cúbica, basado en parte en la obra previa de Scipione del Ferro y de Tartaglia, se percató de que en cierto paso se veía obligado a tomar la raíz cuadrada de un número negativo. Aunque esto era un enigma para él, se dio cuenta de que si se permitía tomar esa raíz cuadrada, y sólo entonces, podía expresar la respuesta completa, que finalmente siempre era real. Más tarde, en 1572, Raphael Bombelli, en una obra titulada “L’ Algebra”, extendió el trabajo de Cardano y comenzó el estudio del actual álgebra de los números complejos.
El objetivo original de la introducción de los números imaginarios era poder tomar raíces cuadradas sin problemas, pero se han encontrado otras muchas propiedades “mágicas” que poseen estos números en combinación con los reales (números complejos). Estas propiedades aparecen bajo nombres diversos y extraños, como la fórmula integral de Cauchy, el teorema de la aplicación de Riemann o la propiedad de extensión de Lewy, pero su influencia se cuela en infinidad de fenómenos cotidianos, porque está en la propia base de las matemáticas que rigen las leyes de la física.

Nos los podemos encontrar en cualquier sitio, en cualquier expresión matemática pura o relacionada con algo tan prosaico como las relaciones de impedancias en un circuito de corriente alterna. En la función de onda de la mecánica cuántica o en cualquier expresión de naturaleza ondulatoria o periódica. En la técnica, en la física o en las matemáticas más abstractas.

Una pequeña muestra: Mientras la potencia puramente resistiva de una estufa se representa como un número real, la potencia reactiva de un motor industrial se representa como un número imaginario. Las relaciones entre ambas potencias cumplen las mismas propiedades que las propias relaciones entre números reales e imaginarios. De la misma forma, en la ecuación llamada función de onda de la mecánica cuántica, también encontramos los números imaginarios. Esta función que controla el comportamiento de cualquier partícula elemental, de la que está formado este universo, se rige por las relaciones de los números reales e imaginarios. Y en cualquier expresión de naturaleza ondulatoria, como la que determina las ondulaciones del agua en un estanque, la propagación de la luz o las vibraciones que producen los sonidos en nuestro tímpano.
El número i, junto con los números trascendentes PI (relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro) y el e (base de los logaritmos naturales o neperianos), aparece en la más bella expresión matemática que existe, la ecuación de Euler. Esta expresión que liga a tres de los números más importantes de las matemáticas también es un ejemplo de la rica conexión entre los números, sus propiedades y la realidad física de todo orden.

La realidad que vemos y tocamos cada día está ligada de forma inextricable a estos misteriosos números, llamados imaginarios de forma despectiva por René Descartes. Para entenderla en toda su extensión necesitamos de los números reales y de los números imaginarios, de su extraña pero mágica relación.

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