http://ciclolimite.blogspot.com.es/2014/02/la-suma-de-angulos-internos-de-un.html
http://geometrias-no-euclideanas.blogspot.com.es/2007/09/parte-iii-las-geometras-esfrica-y.html
https://en.wikipedia.org/wiki/G._H._Hardy#Hardy.27s_aphorisms
Los ángulos de un triángulo suman 180º ¡si éste se encuentra sobre un plano!
Normalmente, obviamos la última parte de la oración. Los profanos damos por hecho que toda la geometría se desarrolla en el plano, ajenos a las geometrías elíptica, hiperbólica,… de las que aquí no vamos a hablar (más que nada, porque no tengo ni idea de ellas). El caso es que resulta muy interesante preguntarse cómo serían las figuras geométricas que conocemos si en vez de en un plano las dibujáramos en una superficie un pelín más rara, como por ejemplo, una esfera. Pero antes de ir al grano, vamos a estudiar un poco de historia para ver de dónde salen todas estas geometrías…
Euclides y sus postulados
El aspecto que más me fascina de los matemáticos es su habilidad para deducir potentes teorías a partir de principios muy simples. Estos ladrillos sólidos en torno a los que se construye la catedral biblioteca de las matemáticas se llaman axiomas o postulados. No sólo se usan en matemáticas, todas las teorías científicas parten de hechos que se toman como ciertos, que no se deducen ni se razonan. Por ejemplo, la teoría de la relatividad especial asume que las leyes físicas son iguales para cualquier observador que se mueva a velocidad constante. Si el universo no se comportara así, la teoría de Einstein no sería válida.
La geometría, cómo no, tiene también sus postulados. Los dedujo Euclides en su obra Los Elementos, que escribió hace unos 2300 años. Es importante darse cuenta de que Euclides no inventó la geometría, no dictó los postulados y a partir de ahí se construyeron todas las figuras geométricas (Tales y Pitágoras vivieron unos siglos antes que él e hicieron fuertes descubrimientos en el campo), sino que intentó clarificar la geometría del momento haciendo que toda ella se pudiera deducir de una serie de cláusulas sencillas (lo cual también tiene muchísimo mérito).
Escribió, pues, cinco postulados en los que se basa la geometría plana, que siguen siendo igual de válidos hoy (de hecho, esta geometría se conoce como euclídea en su honor):
- Dos puntos determinan un segmento.
- Un segmento se puede extender infinitamente dando lugar a una recta.
- Se puede trazar una circunferencia con cualquier centro y cualquier radio.
- Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
- Por un punto exterior a una recta, sólo pasa una paralela a la misma. (Postulado de las paralelas)
Hace poco [unos 200 años, estando (cómo no) Gauss de por medio], se decidió poner punto y final al dilema y se trató de demostrar por reducción al absurdo (empiezas suponiendo falso lo que quieres probar e intentas llegar a una contradicción que indique que tiene que ser verdadero) que el postulado de las paralelas era fundamental. Así pues, se prescindió de él y se construyeron las figuras geométricas a partir de los otros cuatro. Y la conclusión fue…
La liberación de la curva
Volvemos al triángulo en la esfera
En una esfera, definimos como rectas a los círculos máximos que se pueden trazar en ella (es decir, los círculos que tienen radio igual al de la esfera en la que los dibujamos). Un triángulo, como el que tenemos aquí abajo, está delimitado por tres segmentos de círculos máximos.
Los ángulos de un triángulo suman entre 180º y 540º si éste se encuentra sobre una esfera.
a+b+c=π+Ar2
Imagen tomada (sin permiso) de http://geometrias-no-euclideanas.blogspot.com.es/2007/09/parte-iii-las-geometras-esfrica-y.html Los ángulos a, b y c aquí aparecen en mayúsculas. |
Área esfera = área de los gajos – 2*área de la intersección (porque si no, tendríamos en cuenta tres veces el área de los triángulos)
área de los gajos = 4*a*r^2 + 4*b*r^2 + 4*c*r^2
área de la intersección = 2*a (a es el área del triángulo)
Área esfera = 4*a*r^2 + 4*b*r^2 + 4*c*r^2 – 4*a = 4*π*r^2
¿Y todo esto para qué sirve? (pregunta el lector pragmático)
«Nunca he hecho nada útil. Ningún descubrimiento mío ha revertido (y probablemente nunca revertirá) en el bienestar de la Humanidad.»
La segunda respuesta es la que la gente necesita que le des, y se basa en que Hardy se equivocaba.
Todos los descubrimientos matemáticos, por abstractos que sean, acaban teniendo aplicación práctica. Sin ir más lejos, la querida teoría de números del propio Hardy (que en su momento parecía totalmente inaplicable a la realidad) es hoy la base de la omnipresente criptografía asimétrica, gracias a la cual estás leyendo este blog.
Así pues, la geometría esférica tiene aplicaciones en navegación (utilísimas desde que los ibéricos empezamos a innovar en la exploración marítima en el siglo XV) y realización de mapas, por ejemplo. Hablaremos de las dos en la próxima entrada de geometría esférica.
Para terminar, os dejo con otra perla de Hardy, sacada de su libro Apología de un matemático, cuya lectura recomiendo, por ser corto y ameno y plasmar perfectamente el espíritu de las matemáticas y del esnobismo inglés.
Es una frase que, para un japonés, puede sonar a humor negro:
«Nadie ha descubierto todavía una aplicación militar para la teoría de números o la de la relatividad, y parece improbable que ésto vaya a cambiar a largo plazo».
G. H. Hardy, 1940
PD: Pido perdón por la fealdad de las fórmulas… Si alguien conoce una manera de escribir en LaTeX en Blogger, que me lo comunique (¡por el bien del lector!).